Question

已知函数f（x）与g（x）的公共定义域为I，函数h（x）满足：对任意x∈I，点（x，h（x））与点（x，g（x））均关于点（x，f（x））对称，若f（x）=alnx-x²+ax（a＞0），对任意x∈R，函数g（x）满足2g（x）-g（1-x）=2e^x-

1

ex-1

+1，其中e=2.71828…为自然对数的底数，有下列命题：
①当a=1时，曲线y=h（x）在x=1处的切线的斜率为-e-2；
②当a=1，x∈[1，+∞）时，函数h（x）的值域为（-∞，-e-1]；
③若函数f（x）在（0，2）内不单调，则a的取值范围为（0，2）；
④设函数F（x）=bln[g（x）-1]+f′（x）+2x-a，其中b＞0，f′（x）为f（x）的导函数，若O为坐标原点，函数F（x）的图象为C，则对任意点M∈C，都存在唯一点N∈C，使得tan∠MON=b．
其中真命题的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：阅读型,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：运用中点坐标公式可得2f（x）=g（x）+h（x），再由x换为1-x，运用函数方程的思想可得g（x），h（x），
求出h（x）的导数，由导数的几何意义，即可得到切线的斜率，即可判断①；求出h（x）的导数，判断[1，+∞）的单调性，即可得到值域，进而判断②；若函数f（x）在（0，2）内单调，运用导数和不等式恒成立求得a的范围，再求补集，即可判断③；先化简F（x），令h（x）=bx，判断y=bx为F（x）的渐近线，检验在函数f（x）图象上任取两点M，N，∠MON＜arctanb或∠MON＞π-arctanb，即可判断④．

解答： 解：由题意可得2f（x）=g（x）+h（x），又对任意x∈R，函数g（x）满足2g（x）-g（1-x）=2e^x-

1

ex-1

+1，将x换为1-x，可得2g（1-x）-g（x）=2e^1-x-e^x+1，消去g（1-x），可得g（x）=e^x+1，h（x）=2f（x）-g（x）=2alnx-2x²+2ax-e^x-1，
对于①，当a=1时，y=h（x）=2lnx-2x²+2x-e^x-1的导数为y′=

2

x

-4x+2-e^x，曲线y=h（x）在x=1处的切线的斜率为2-4+2-e=-e，则①错；
对于②，当a=1，x∈[1，+∞）时，y=h（x）=2lnx-2x²+2x-e^x-1的导数为y′=

2

x

-4x+2-e^x＜0，
函数h（x）递减，即有h（x）≤h（1）=-e-1，则②正确；
对于③，若函数f（x）在（0，2）内单调，f（x）=alnx-x²+ax（a＞0）的导数为f′（x）=

a

x

-2x+a，
即有f′（x）=

-2x2+ax+a

x

，若f（x）在（0，2）内递增，即有-2x²+ax+a≥0在（0，2）恒成立，
即a≥

2x2

x+1

=2[

1

x+1

+（x+1）-2]，由x∈（0，2），x+1∈（1，3），可得2[

1

x+1

+（x+1）-2]∈（0，

8

3

），
即有a≥

8

3

；若f（x）在（0，2）内递减，即有-2x²+ax+a≤0在（0，2）恒成立，
即a≤

2x2

x+1

=2[

1

x+1

+（x+1）-2]，由x∈（0，2），x+1∈（1，3），可得2[

1

x+1

+（x+1）-2]∈（0，

8

3

），
即a≤0，与a＞0矛盾，综上可得若函数f（x）在（0，2）内不单调，则a的取值范围为（0，

8

3

）
则③错；
对于④，函数F（x）=bln[g（x）-1]+f′（x）+2x-a=blne^x+

a

x

-2x+a+2x-a=bx+

a

x

，
令h（x）=bx，则F（x）-h（x）=bx+

a

x

-bx=

a

x

，（a＞0，b＞0），
当x→+∞时，

a

x

→0，h（x）=bx是函数y=bx+

a

x

的渐近线，
在函数F（x）图象上任取两点M，N，∠MON＜arctanb或∠MON＞π-arctanb，
则tan∠MON＞b或-b＜tan∠MON＜0，即此时不存在这样的两点M，N，使得tan∠MON=b，则④错误．
综上可得，其中真命题的个数为1．
故选：A．

点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和求单调区间，主要考查函数的单调性的运用，以及分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．