Question

已知向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），函数f（x）=

m

•

n

．
（1）求f（x）的周期及单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC+

1

2

c=b，求f（2B）的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的周期性和单调性即可得出．
（2）由acosC+

1

2

c=b，利用正弦定理、三角形的内角和定理、诱导公式可得A=

π

3

．得到0＜B＜

2π

3

，进而得到

1

2

＜sin(B+

π

6

)≤1．即可得出函数f（2B）的值域．

解答： 解：（1）函数f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1+cos x 2

2

=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

，
∴T=

2π

1 2

=4π．
由-

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

3

+4kπ≤x≤

2π

3

+4kπ(k∈Z)．
∴函数f（x）单调递增区间是[-

π

3

+4kπ，

π

2

+4kπ]（k∈Z）；
（2）∵acosC+

1

2

c=b，利用正弦定理可得sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，
∴2sinAcosC+sinC=2sin（A+C），化为sinC=2sinCcosA，
在△ABC中，sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

．
∴0＜B＜

2π

3

，∴(B+

π

6

)∈(

π

6

，

5π

6

)，
∴

1

2

＜sin(B+

π

6

)≤1．
∵f（2B）=sin(B+

π

6

)+

1

2

，∴f（2B）∈(1，

3

2

]．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的周期性和单调性、正弦定理、三角形的内角和定理、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．