Question

过棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AD、CD、A₁B₁的中点E、F、G作截面，求：
（1）棱锥C-EFG的体积；
（2）点C到平面EFG的距离；
（3）直线B₁C到平面EFG的距离．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用等体积转换，可求棱锥C-EFG的体积；
（2）取AB的中点H，利用V_C-EFG=V_G-EFC，求点C到平面EFG的距离；
（3）B₁C∥平面EFG，则直线B₁C到平面EFG的距离，即为点C到平面EFG的距离．

解答： 解：（1）V_C-EFG=V_G-EFC=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

（2）取AB的中点H，则EH=6

2

，HF=2，
∴EG=

6

，GF=2

2

，EF=

2

，
∴GF²=EG²+EF²，∴∠GEF=90°，
∴S_△EFG=

1

2

EG•EF=

1

2

×

6

×

2

=

3

设C到平面EFG的距离为h，∴V_C-EFG=V_G-EFC，∴

1

3

S△EFG•h=

1

6

，h=

3

6

（3）∵GF∥B₁C，∴B₁C∥平面EFG，
∴直线B₁C到平面EFG的距离，即为点C到平面EFG的距离为

3

6

．

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查点、线、面间的距离计算，正确求体积是关键．