Question

如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且∠CBA=∠DAB=

π

3

．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．

根据图乙解答下列各题：
（Ⅰ）求证：CB⊥DE；
（Ⅱ）求三棱锥C-BOD的体积；
（Ⅲ）在劣弧

BD

上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用等边三角形的性质可得DE⊥AO，再利用面面垂直的性质定理即可得到DE⊥平面ABC，进而得出结论．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，利用转换底面的方法，即可求三棱锥的体积；
（Ⅲ）存在，G为劣弧

BD

的中点．连接OG，OF，FG，通过证明平面OFG∥平面ACD，即可得到结论．

解答： （Ⅰ）证明：在△AOD中，
∵∠OAD=

π

3

，OA=OD，
∴△AOD为正三角形，
又∵E为OA的中点，
∴DE⊥AO…（1分）
∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，
∴DE⊥平面ABC．      …（3分）
又CB?平面ABC，∴CB⊥DE．     …5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，
∴DE为三棱锥D-BOC的高．∵D为圆周上一点，且AB为直径，∴∠ADB=

π

2

，
在△ABD中，由AD⊥BD，∠BAD=

π

3

，AB=2，得AD=1，DE=

3

2

．     …（6分）
∵S△BOC=

1

2

S△ABC=

1

2

×

1

2

×1×

3

=

3

4

，
∴VC-BOD=VD-BOC=

1

3

S△BOC•DE=

1

3

×

3

4

×

3

2

=

1

8

．    …（8分）
（Ⅲ）解：存在满足题意的点G，G为劣弧

BD

的中点．       …（9分）
证明如下：连接OG，OF，FG，易知OG⊥BD，又AD⊥BD∴OG∥AD，
∵OG?平面ACD，∴OG∥平面ACD．      …（10分）
在△ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，
∴OF∥AC，OF?平面ACD，∴OF∥平面ACD，…（11分）
∵OG∩OF=O，∴平面OFG∥平面ACD．
又FG?平面OFG，∴FG∥平面ACD．      …（12分）

点评：本题考查线线、线面、面面关系，考查线线垂直的判定、面面垂直的性质、线面平行的判定及几何体高与体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及分析探究问题和解决问题的能力．