Question

设f（x）=x²+ax+b（a、b∈R，x∈R），若直线y=k与f（x）图象相交于点A、B，直线y=k+8与f（x）图象相交于点C、D，则|AB|-2|CD|的最大值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,导数的综合应用

分析：首先通过二次函数的图象简化问题，再求导数，由导数确定最大值．

解答： ∵f（x）=x²+ax+b（a、b∈R，x∈R）与g（x）=x²的开口大小是一样的，且方向相同，
∴|AB|-2|CD|的最大值与g（x）=x²与直线y=k和直线y=k+8形成的最大值是相同的，
令k=x²解得，x=±

k

，则|AB|=2

k

，同理|CD|=2

k+8

（k＞0）；
|AB|-2|CD|=2

k

-4

k+8

=2（

k

-2

k+8

），
令h（k）=

k

-2

k+8

，则h′（k）=

1

2

（

1

k

-

2

k+8

）
=

1

2

k+8 -2 k

k k+8

，
则当k∈（0，

8

3

）时，h′（k）＞0，h（k）单调递增；
当k∈（

8

3

，+∞）时，h′（k）＜0，h（k）单调递减；
则|AB|-2|CD|的最大值为：
2（

8 3

-2

8 3 +8

）=-4

6

．
故答案为：-4

6

．

点评：本题考查了数化中转化的思想，从而大大减化的运算，同时考查了导数的综合应用，属于难题．