Question

已知D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1．

Answer 1

考点：相似三角形的性质

专题：立体几何

分析：首先利用反证法证明AD、BE、CF交于一点，然后利用三角形中位线定理证明被该点分成2：1

解答：
证明：（1）假设AD、BE、CF不交于一点，且AD与BE交于O₁，AD与CF交于O₂
∴利用合比性质得：

O1C

CF

=

AO1

AD

=

O2C

CF

=

2

3

O₁和O₂重合
所以假设错误
AD、BE、CF交于一点
（2）如图所示，连结EF，在△ABC中，E、F是AB、AC的中点
∴EF∥BC
△OEF∽△OBC
∴

OB

OE

=

OC

OF

=

2

1

同理：

OB

OE

=

OC

OF

=

OA

OD

=

2

1

点评：本题考查的知识点；三角形中位线定理，反证法，合比性质的应用．