Question

11．已知$cos（θ+\frac{π}{6}）=a（|a|≤1）$，函数f（x）=$\frac{2}{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$），
（1）求f（θ）的值
（2）求f（x）在$x∈[\frac{π}{2}，\;π]$上的最大值及取最大值时x的取值
（3）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）根据诱导公式，利用（$\frac{π}{3}$-θ）+（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{π}{2}$，求出f（θ）的值；
（2）根据三角函数的图象与性质，求出f（x）的最大值以及对应x的值；
（3）根据正弦函数的图象与性质，求出f（x）的单调增区间．

解答 解：（1）∵$cos（θ+\frac{π}{6}）=a（|a|≤1）$，函数f（x）=$\frac{2}{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$），
∴f（θ）=$\frac{2}{3}$sin（θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）=-$\frac{2}{3}$cos（θ+$\frac{π}{6}$）=-a；
（2）当$x∈[\frac{π}{2}，\;π]$时，x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]；
当x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{6}$时，
函数f（x）=$\frac{2}{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$）取得最大值为$\frac{2}{3}$；
（3）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{6}$+2kπ≤x≤$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∴f（x）=$\frac{2}{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$）的单调增区间是：[-$\frac{π}{6}$+2kπ，$\frac{5π}{6}$+2kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换问题，是基础题目．