Question

6．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}={3^n}+k$
（Ⅰ）求k的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列，求数列$\{\frac{1}{d_n}\}$的前n项和T_n，并求使$\frac{8}{5}{T_n}+\frac{n}{{5×{3^{n-1}}}}≤\frac{40}{27}$成立的正整数n的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得T_n，再利用不等式的性质即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵${S_n}={3^n}+k$，
当n≥2时，${S_{n-1}}={3^{n-1}}+k$，
两式相减得：${a_n}=2×{3^{n-1}}$，
当n=1时，即S₁=3+k，
∵数列{a_n}为等比数列，∴${S_1}=3+k={a_1}=2×{3^0}$，
解得：k=-1
∴通项公式${a_n}=2•{3^{n-1}}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${a_{n+1}}=2•{3^n}$，${a_n}=2•{3^{n-1}}$，
∵a_n+1=a_n+（n+1）d_n，∴${d_n}=\frac{{4×{3^{n-1}}}}{n+1}$，
∴$\frac{1}{d_n}=\frac{n+1}{{4×{3^{n-1}}}}$．
令${T_n}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}+\frac{1}{d_3}+$…$+\frac{1}{d_n}$，
则${T_n}=\frac{2}{{4×{3^0}}}+\frac{3}{{4×{3^1}}}+\frac{4}{{4×{3^2}}}+$…$+\frac{n+1}{{4×{3^{n-1}}}}$  ①
$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{2}{{4×{3^1}}}+\frac{3}{{4×{3^2}}}+$…$+\frac{n}{{4×{3^{n-1}}}}+\frac{n+1}{{4×{3^n}}}$  ②
①…②得$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{2}{{4×{3^0}}}+\frac{1}{{4×{3^1}}}+\frac{1}{{4×{3^2}}}+$…$+\frac{1}{{4×{3^{n-1}}}}-\frac{n+1}{{4×{3^n}}}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{{3^{n-1}}}}）}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{n+1}{{4×{3^n}}}=\frac{5}{8}-\frac{2n+5}{{8×{3^n}}}$，
∴${T_n}=\frac{15}{16}-\frac{2n+5}{{16×{3^{n-1}}}}$．
∴$\frac{8}{5}{T_n}+\frac{n}{{5×{3^{n-1}}}}≤\frac{40}{27}$，
即$\frac{3}{2}-\frac{1}{{2×{3^{n-1}}}}≤\frac{40}{27}$，3ⁿ≤81，
得n≤4，
∴使$\frac{8}{5}{T_n}+\frac{n}{{5×{3^{n-1}}}}≤\frac{40}{27}$成立的正整数n的最大值为4．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．