Question

2．已知抛物线C：y=ax²（a＞0），过点P（0，1）的直线l交抛物线C于A、B两点．
（Ⅰ）若抛物线C的焦点为（0，$\frac{1}{4}$），求该抛物线的方程；
（Ⅱ）已知过点A、B分别作抛物线C的切线l₁、l₂，交于点M，以线段AB为直径的圆经过点M，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将抛物线的方程写成标准方程，求得焦点，可得a=1；
（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=kx+1，代入抛物线的方程，化为x的方程，运用韦达定理，再由切线方程的求法，求得两直线的切线的方程，解方程可得M（$\frac{k}{2a}$，-1）．求得向量MA，MB的坐标，再由题意可得$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，运用数量积为0，化简整理，由恒成立思想即可得到a的值．

解答 解：（Ⅰ）抛物线C：y=ax²（a＞0）即为
x²=$\frac{1}{a}$y，焦点为（0，$\frac{1}{4a}$），由题意可得$\frac{1}{4a}$=$\frac{1}{4}$，
解得a=1；
（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，
故可设直线l的方程为y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，得ax²-kx-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{a}$．
∵抛物线C的方程为y=ax²，
求导得y′=2ax，
∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是y-ax₁²=2ax₁（x-x₁），
y-ax₂²=2ax₂（x-x₂），
即 y=2ax₁x-ax₁²，y=2ax₂x-ax₂²，
解得两条切线l₁、l₂的交点M的坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，ax₁x₂），
即M（$\frac{k}{2a}$，-1）．
则$\overrightarrow{MA}$=（x₁-$\frac{k}{2a}$，ax₁²+1），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-$\frac{k}{2a}$，ax₂²+1），
由线段AB为直径的圆经过点M，可得$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，
即有$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁-$\frac{k}{2a}$）（x₂-$\frac{k}{2a}$）+（ax₁²+1）（ax₂²+1）=0，
即有x₁x₂-$\frac{k}{2a}$（x₁+x₂）+$\frac{{k}^{2}}{4{a}^{2}}$+a²x₁²x₂²+a[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+1=0，
即（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4{a}^{2}}$）k²+（4-$\frac{1}{a}$）=0，
由恒成立思想可得$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4{a}^{2}}$=0，且4-$\frac{1}{a}$=0，
解得a=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的方程和切线，考查直线和圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．