题目内容

对某校高三学生一个月内参加体育活动的次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加体育活动的次数．根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组频数频率
[10，15）100.25
[15，20）24n
[20，25）mp
[25，30]20.05
合计M1
（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生在一个月内参加体育活动的次数在区间[10，15）内的人数；
（Ⅲ）在所取的样本中，从参加体育活动的次数不少于20次的学生中任取4人，记此4人中参加体育活动不少于25次的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图
专题：综合题,概率与统计
分析：（Ⅰ）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25，可求M，频数之和为40，可求m，从而求出p，利用a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，求出a的值；
（Ⅱ）利用该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，可估计该校高三学生在一个月内参加体育活动的次数在区间[10，15）内的人数；
（Ⅲ）根据题意ξ可能取值为0，1，2，求出相应的概率，可得随机变量ξ的分布列和数学期望．
解答： 解：（I）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25，
∴
10
M
=0.25，∴M=40．…（1分）
∵频数之和为40，∴10+24+m+2=40，∴m=4，…（2分）
∴p=0.4，…（3分）
∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，∴a=
24
40×5
=0.12．…（4分）
（II）∵该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，
∴估计该校高三学生在一个月内参加体育活动的次数在此区间的人数为240×0.25=60．…（6分）
（III）根据题意ξ可能取值为0，1，2．…（7分）
P(ξ=0)=
C
4
4
C
4
6
=
1
15
，P(ξ=1)=
C
3
4
C
1
2
C
4
6
=
8
15
，P(ξ=2)=
C
2
4
C
2
2
C
4
6
=
6
15
=
2
5
，
∴ξ的分布列为
ξ012
P
1
15
8
15
2
5
…（10分）
∴Eξ=0×
1
15
+1×
8
15
+2×
6
15
=
4
3
．…（12分）
点评：本题以频率的统计表和频率分布直方图为载体，考查随机变量的分布列和数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．
练习册系列答案
相关题目
（x3+
1
x2
）10的展开式中的常数项是（　　）
A、
C
5
10
B、
C
6
10
C、
C
9
10
D、
C
10
10
已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且
AB
2=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB

（1）判断△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围．
（2）如图，三角形ABC的顶点A、C分别在l1、l2上运动，AC=2，BC=1，若直线l1⊥直线l2 ，且相交于点O，求O，B间距离的取值范围．
已知tanα=-2，求4sin2α+3cos2α的值．
已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a-b≠0时，有
f(a)-f(b)
a-b
＞0成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明；
（2）解不等式：f（x+
1
2
）＜f（
1
x-1
）．
已知tanα=3，求下列各式的值．
（1）
670sinα+4cosα
2sinα-5cosα
；       
（2）
1
2sin2α-8cos2α
．
在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l经过两点（1，-2），（3，2），设圆C的半径为1，圆心在直线l上．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若圆C被x轴截得的弦长为
3
，求圆C的方程；
（Ⅲ）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
已知圆C过点A（0，-2），B（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l过点P（2，0），且与圆C交于M，N两点，若|MN|=4
2
，求直线l的方程．
方程
(x-2)2+y2
+
(x+2)2+y2
=10，化简的结果是
 
．

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