Question

在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l经过两点（1，-2），（3，2），设圆C的半径为1，圆心在直线l上．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若圆C被x轴截得的弦长为

3

，求圆C的方程；
（Ⅲ）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求直线l的方程；
（Ⅱ）若根据直线和圆的位置关系即可求圆C的方程；
（Ⅲ）根据条件MA=2MO，建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，直线l的斜率k=

2+2

3-1

=

1

2

，
∴直线l的方程为y-2=

1

2

（x-3），即2x-y-4=0．
（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l上，可设圆心坐标为（a，2a-4），
由已知可得：|2a-4|=

1

2

，
∴a=

9

4

或a=

7

4

，
∴圆C方程为：(x-

9

4

)2+(y-

1

2

)2=1，或(x-

7

4

)2+(y+

1

2

)2=1．
（Ⅲ）∵圆C的圆心在在直线l：y=2x-4上，
∴设圆心C为（a，2a-4）
则圆C的方程为：（x-a）²+[y-（2a-4）]²=1，
又∵MA=2MO，
∴设M为（x，y）则

x2+(y-3)2

=2

x2+y2

整理得：x²+（y+1）²=4设为圆D，
∴点M应该既在圆C上又在圆D上   
即：圆C和圆D有交点
∴|2-1|≤

a2+[(2a-4)-(-1)]2

≤|2+1|，
由5a²-8a+8≥0得x∈R
由5a²-12a≤0得0≤x≤

12

5

终上所述，a的取值范围为：[0，

12

5

]．

点评：本题主要考查直线方程的求法，直线和圆的位置关系的应用，要求熟练掌握相应的方程，考查学生的计算能力．