Question

已知圆C过点A（0，-2），B（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l过点P（2，0），且与圆C交于M，N两点，若|MN|=4

2

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）设圆心C（-2b-1，b），再根据圆C过点A（0，-2），B（3，1），可得 （-2b-1-0）²+（b+2）²=（-2b-1-3）²+（b-1）²=r²，r为半径．解得b的值，可得圆心C和半径r，从而求得圆C的标准方程．
（Ⅱ）由题意根据弦长公式求得弦心距d=1．分直线的斜率不存在、存在两种情况，分别根据弦心距d=

|k+2|

k2+1

=1，求得直线的方程．

解答： 解：（1）∵圆心C在直线x+2y+1=0上，故设圆心C（-2b-1，b），再根据圆C过点A（0，-2），B（3，1），
可得 （-2b-1-0）²+（b+2）²=（-2b-1-3）²+（b-1）²=r²，r为半径．
解得b=-2，可得圆心C（3，-2），r=3，
∴圆C的标准方程为 （x-3）²+（y+2）²=9．
（Ⅱ）直线l过点P（2，0），且与圆C交于M，N两点，若|MN|=4

2

，则弦心距d=1．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=2，满足弦心距d=1．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y-0=k（x-2），根据弦心距d=

|k+2|

k2+1

=1，求得k=-

3

4

．
此时，直线的方程为3x+4y-6=0．
综上可得，所求的直线的方程为 x=2，或3x+4y-6=0．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．