Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a-b≠0时，有

f(a)-f(b)

a-b

＞0成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明；
（2）解不等式：f（x+

1

2

）＜f（

1

x-1

）．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）根据a，b∈[-1，1]，a-b≠0时，有

f(a)-f(b)

a-b

＞0成立，利用函数单调性的定义，即可得出结论；
（2）根据f（x）在[-1，1]上单调递增，建立不等式组，即可解不等式．

解答： 解：（1）f（x）在[-1，1]上单调递增．
设x₁，x₂∈[-1，1]，x₁＜x₂，
∵a，b∈[-1，1]，a-b≠0时，有

f(a)-f(b)

a-b

＞0成立，即对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
又x₁＜x₂，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上单调递增．
（2）∵f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴

x+ 1 2 ＜ 1 x-1 -1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1

，
∴-

3

2

≤x＜-1．

点评：利用函数的单调性的定义是解题的关键，借助于函数的单调性，可以转化不等式．