Question

已知函数f（x）=alnx+

1

2

x2+x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）函数g（x）=

2

3

x3+x-

1

6

(x＞0)，求证：a=1时f（x）的图象都不在g（x）图象的上方．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，通过导数的符号，判断函数的单调性．求出单调区间．
（2）构造函数υ(x)=f(x)-g(x)=lnx+

1

2

x2-(

2

3

x3+

1

6

)，(x＞0)，通过函数的导数，求出函数的最值，通过函数的最值说明结论．

解答： 解：（1）f/(x)=

a

x

+x+1=

x2+x+a

x

当a≥

1

4

时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＜

1

4

时，令f′（x）=0，x1，2=

-1± 1-4a

2

，∵x＞0，
又当0≤a＜

1

4

时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增；---------（7分）
当a＜0时，f′（x）≥0，x≥

-1+ 1-4a

2

，f′（x）＜0，0＜x＜

-1+ 1-4a

2

，
故f（x）在(0，

-1+ 1-4a

2

)单调递减，在(

-1+ 1-4a

2

，+∞)单调递增；
综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＜0时，f（x）在(0，

-1+ 1-4a

2

)单调递减，在(

-1+ 1-4a

2

，+∞)单调递增．
（2）令υ(x)=f(x)-g(x)=lnx+

1

2

x2-(

2

3

x3+

1

6

)，(x＞0)，则υ/(x)=

1

x

+x-2x2=

1+x2-2x3

x

=

(1-x)(2x2+x+1)

x

．
令υ′（x）=0得x=1，当0＜x＜1时υ′（x）＞0，
当x＞1时υ′（x）＜0，故υ（x）_max=υ（1）=0，υ（x）≤0，
即f（x）≤g（x），
所以a=1时f（x）的图象都不在g（x）图象的上方．---------------（14分）

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．