Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2（b-acosC）
（1）求∠A的大小
（2）若△ABC的面积为

3

，求a的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）根据正弦定理，把2acosC+c=2b化为2sinAcosC+sinC=2sinB，再由B=π-（A+C），化简求出A的值即可；
（2）通过三角形的面积得到bc，利用余弦定理结合基本不等式求出a的范围．

解答： 解：（1）∵c=2（b-acosC）
∴2acosC+c=2b，
由正弦定理得，2sinAcosC+sinC=2sinB；
∴2sinAcosC+sinC=2sin（A+C）=2（sinAcosC+cosA sinC），
即sinC（2cosA-1）=0；
∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

．
（2）△ABC的面积为

3

，
∴

3

=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，∴bc=4
a²=c²+b²-2bccosA=c²+b²-4≥2bc-4=4，当且仅当b=c=2时取等号．
a的取值范围[2，+∞）．

点评：本题考查了解三角形的应用问题，解题时应灵活应用正弦定理和余弦定理的公式求角和边长，考查基本不等式的应用，是中档题目．