Question

已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=a（2x-x²）（a≠0，a∈R）．
（1）若关于x的不等式g（x）≤bx-2的解集为{x|-2≤x≤-1}，求实数a，b的值；
（2）若对于任意的x＞3，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由不等式的解集，得ax²-（2a-b）x-2=0的两个根分别为-2，-1，运用韦达定理，即可得到a，b；
（2）对于任意的x＞3，f（x）≤g（x）恒成立等价于a≤

ln(x+1)

2x-x2

=m（x）恒成立．运用导数判断m（x）的单调性，即可得到最小值，令a不大于它即可．

解答： 解：（1）g（x）≤bx-2等价于ax²-（2a-b）x-2≥0，
由题可知ax²-（2a-b）x-2=0的两个根分别为-2，-1，
∴

2a-b

a

=-3，-

2

a

=2，
∴a=-1，b=-5；
（2）对于任意的x＞3，f（x）≤g（x）恒成立等价于a≤

ln(x+1)

2x-x2

=m（x）恒成立．
m'（x）=

2x-x2-2(1-x2)ln(1+x)

(x+1)(2x-x2)2

，
令n（x）=2x-x²-2（1-x²）ln（1+x），
n'（x）=4xln（1+x）＞0且n（0）=0，
∴n（x）＞0，
∴m'（x）＞0，m（x）在（3，+∞）上单调递增，
∴a≤m（3）=-

2

3

ln2，
即a的取值范围是（-∞，-

2

3

ln2]．

点评：本题考查二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题，注意运用参数分离和函数的导数判断单调性，求最值，考查运算能力，属于中档题．