Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+a_n=1（n∈N^*），等差数列{b_n}的公差为正数，其前n项和为T_n，T₃=15，且b₁，

1

a2

，b₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=

3

bnbn+1

，求数列{c_n}的前n项和P_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）S_n+a_n=1，可得当n=1时，2a₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为2a_n=a_n-1．利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）由b₁，

1

a2

，b₃成等比数列，可得(

1

a2

)2=b1b3，b₁（b₁+2d）=16，又T₃=15，可得b₁+d=5，联立解出即可．b_n=3n-1．c_n=

3

bnbn+1

=

1

3n-1

-

1

3n+2

，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（I）∵S_n+a_n=1，
∴当n=1时，2a₁=1，∴a₁=

1

2

；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），化为2a_n=a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，a_n=(

1

2

)n．
（II）∵b₁，

1

a2

，b₃成等比数列，
∴(

1

a2

)2=b1b3，
∴b₁（b₁+2d）=16，
又T₃=15，∴3b1+

3×2

2

d=15，化为b₁+d=5，
联立

b1(b1+2d)=16 b1+d=5

，又d＞0，解得

b1=2 d=3

．
∴b_n=2+3（n-1）=3n-1．
∴c_n=

3

bnbn+1

=

3

(3n-1)(3n+2)

=

1

3n-1

-

1

3n+2

，
∴数列{c_n}的前n项和P_n=(

1

2

-

1

5

)+(

1

5

-

1

8

)+…+(

1

3n-1

-

1

3n+2

)
=

1

2

-

1

3n+2

=

3n

6n+4

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．