Question

如图，函数f（x）=x+

2

x

的定义域为（0，+∞）．设点P是函数图象上任一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M，N．
（1）证明：|PM|•|PN|为定值；
（2）O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的图象

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）根据条件，设出P的坐标，求出|PM|•|PN|，判断是否为定值即可．
（2）根据条件将四边形OMPN分解为两个三角形OPM和OPN，分别表示出两个三角形的面积，利用基本不等式的性质进行求最值．

解答： 解：（1）设P的坐标为（m，n）（m＞0），则有n=m+

2

m

，
即有n-m=

2

m

，
由点到直线的距离公式得|PM|=

|n-m|

2

=

1

m

，|PN|=m，
即|PM|•|PN|=1，
即|PM|•|PN|为定值1；
（2）由题意可设M（t，t），知N（0，n），
由PM与直线y=x垂直，知k_PM=-1，
即

n-t

m-t

=-1，
又n=m+

2

m

解得t=m+

2

2m

，
故|OM|=

2

t=

2

m+

1

m

，
∴S_△OPM=

1

2

•|OM|•|PM|=

1

2

（

2

m+

1

m

）•

1

m

=

1

2

（

2

+

1

m2

），
S_△OPN=

1

2

•|ON|•|PN|=

1

2

•mn=

1

2

（m²+

2

），
∴S_OMPN=S_△OPM+S_△OPN=

1

2

（2

2

+m²+

1

m2

）≥

1

2

（2

2

+2）=

2

+1，
当且仅当m²=

1

m2

，即m=1时等号成立，
故四边形面积有最小值

2

+1．

点评：本题主要考查曲线和方程，以及点到直线的距离公式的应用，利用基本不等式是解决本题的关键，涉及的知识点较多，综合性较强，运算量较大．