Question

设n为正整数，规定f₁（x）=f（x），…f_n（x）=f（f（…f（x））），已知f（x）=

2(1-x)，0≤x≤1 x-1，1＜x≤2

．
（1）解不等式：f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，求证：对任意x∈A，都有f₂（x）=x；
（3）求f₂₀₁₄（

8

9

）；
（4）若集合B={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，求证：B中至少包含有8个元素．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,分段函数的应用

专题：证明题,新定义,分类讨论,函数的性质及应用,集合

分析：（1）分类讨论解出即可；
（2）利用分段函数的意义得出函数值即可；
（3）利用已知得出其周期即可；
（4）利用（2）（3）即可找出几何B中至少含有8个元素．

解答： （1）解：①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x，得x≥

2

3

，∴

2

3

≤x≤1．
②当1＜x≤2时，∵x-1≤x恒成立，∴1＜x≤2． 
由①②得f（x）≤x的解集为{x|

2

3

≤x≤2}；
（2）证明：∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f₃（0）=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0，
当x=1时，f₃（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1，
当x=2时，f₃（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．  
则有对任意x∈A，都有f₃（x）=x；
（3）解：f₁（

8

9

）=2×（1-

8

9

）=

2

9

，
f₂（

8

9

）=f（f₁（

8

9

））=f（

2

9

）=

14

9

，
f₃（

8

9

）=f（f₂（

8

9

））=f（

14

9

）=

14

9

-1=

5

9

，
f₄（

8

9

）=f（f₃（

8

9

））=f（

5

9

）=

8

9

，
一般地，f_4k+r（

8

9

）=f_r（

8

9

），（k，r∈N^*），
∴f₂₀₁₄（

8

9

）=f₂（

8

9

）=

14

9

； 
（4）证明：由（1）知，f（

2

3

）=

2

3

，
∴f_n（

2

3

）=

2

3

，则f₁₂（

2

3

）=

2

3

，

2

3

∈B．
由（2）知，对x=0或x=1或x=2恒有f₃（x）=x，
∴f₁₂（x）=f_4×3（x）=x，则0，1，2∈B．
由（3）知，对x=

8

9

，恒有f₁₂（x）=f_4×3（x）=x，
∴

8

9

，

2

9

，

14

9

，

5

9

∈B．
综上所述：

2

3

，0，1，2，

8

9

，

2

9

，

14

9

，

5

9

∈B
∴B中至少包含8个元素．

点评：熟练掌握分类讨论思想方法、分段函数的意义、函数的周期性等是解题的关键．