Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

r2

b2

=1（a＜b＜0）的离心率为

1

2

，椭圆C的中心O关于直线2x-y-5=0的对称点落在直线x=a²上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（4，0）是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率范围并证明直线ME与x轴相交顶点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意知e=

c

a

=

1

2

，则a=2c，求出椭圆C的中心O关于直线2x-y-5=0的对称点，可求a，即可得出椭圆C的方程；
（2）设直线PN的方程为y=k（x-4）代入椭圆方程，根据判别式，可求直线PN的斜率范围，求出直线ME的方程为y-y₂=

y2+y1

x2-x1

（x-x₂），令y=0，得x=x₂-

y2(x2-x1)

y2+y1

，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意知e=

c

a

=

1

2

，则a=2c，
设椭圆C的中心O关于直线2x-y-5=0的对称点（m，n），则

n m •2=-1 2• m 2 - n 2 -5=0

，
∴m=4，n=-2，
∵椭圆C的中心O关于直线2x-y-5=0的对称点落在直线x=a²上．
∴a²=4，∴c=1，
∴b=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x-4）．
代入椭圆方程，可得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0．①
由△=（-32k²）²-4（4k²+3）（64k²-12）＞0，得4k²-1＜0，∴-

3

6

＜k＜

3

6

又k=0不合题意，∴直线PN的斜率的取值范围是：（-

3

6

，0）∪（0，

3

6

）．
（Ⅲ）设点N（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则M（x₁，-y₁）．
直线ME的方程为y-y₂=

y2+y1

x2-x1

（x-x₂）．
令y=0，得x=x₂-

y2(x2-x1)

y2+y1

．
将y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入整理，得x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

．②
由①得x₁+x₂=

32k2

4k2+3

，x₁x₂=

64k2-12

4k2+3

代入②整理，得x=1．
∴直线ME与x轴相交于定点（1，0）．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．