Question

函数f（x）=x-1-alnx（a∈R）
（I）求函数f（x）的极值；
（II）若a＜0，对于任意x₁，x₂∈（0，1]，且x₁≠x₂，都有|f(x1)-f(x2)|＜4|

1

x1

-

1

x2

|，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（I）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值；
（II）|f(x1)-f(x2)|＜4|

1

x1

-

1

x2

|，即f（x₂）+4×

1

x2

≤f（x₁）+4×

1

x1

，设h（x）=f（x）+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，则|f(x1)-f(x2)|＜4|

1

x1

-

1

x2

|，等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数，求导函数，即使x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，然后利用分离法将a分离出来，从而求出a的范围．

解答： 解：（I）由题意，x＞0，f′（x）=1-

a

x

．
若a≤0时，f′（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，函数f（x）不存在极值；
当a＞0时，∵x＞a时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（a，+∞）上是增函数；0＜x＜a时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a）上是减函数，
∴x=a时，函数f（x）有极小值f（a）=a-1-alna；
（II）当a＜0时，由（I）知函数f（x）在（0，1]上是增函数，又函数y=

1

x

在（0，1]上是减函数
不妨设0＜x₁≤x₂≤1
则|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），
∴|f(x1)-f(x2)|＜4|

1

x1

-

1

x2

|，即f（x₂）+4×

1

x2

≤f（x₁）+4×

1

x1

设h（x）=f（x）+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，
则|f(x1)-f(x2)|＜4|

1

x1

-

1

x2

|，等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数
∵h'（x）=1-

a

x

-

4

x2

=

x2-ax-4

x2

，∴x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x-

4

x

在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x-

4

x

在（0，1]内的最大值．
而函数y=x-

4

x

在（0，1]是增函数，∴y=x-

4

x

的最大值为-3
∴a≥-3，
又a＜0，∴a∈[-3，0）．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题的应用，同时考查了计算能力，转化与化归的思想，属于中档题．