Question

设a，b为正实数，现有下列命题：
①若|

a

-

b

|=1，则|a-b|＜1；
②若

1

b

-

1

a

=1，则a-b＜1；
③若a²-b²=1，则a-b＜1；
④若|a³-b³|=1，则|a-b|＜1．
其中的真命题的个数为

 

．

Answer 1

考点：不等式的基本性质

专题：不等式的解法及应用

分析：①取a=4，b=1满足条件|

a

-

b

|=1，即可判断出；
②取a=3，b=

3

4

满足条件

1

b

-

1

a

=1，即可判断出；
③由已知可得0＜a-b＜a+b，可得a-b=

1

a+b

＜1；
④由已知不妨设a＞b＞0，可得a²+ab+b²＞a²-2ab+b²＞0，进而得到a³-b³＞（a-b）³＞0，即可判断出．

解答： 解：①若|

a

-

b

|=1，取a=4，b=1满足条件，而|a-b|=3＞1，因此①不正确；
②若

1

b

-

1

a

=1，取a=3，b=

3

4

满足条件，则a-b＞1，因此不正确；
③∵a²-b²=1，∴（a-b）（a+b）=1，
∵a＞0，b＞0，∴0＜a-b＜a+b，
∴a-b=

1

a+b

＜1，因此正确；
④∵|a³-b³|=1，a＞0，b＞0，
∴a≠b，不妨设a＞b＞0．
∴a²+ab+b²＞a²-2ab+b²＞0，
∴（a-b）（a²+ab+b²）＞（a-b）（a-b）²
即a³-b³＞（a-b）³＞0．
∴1=|a³-b³|＞（a-b）³＞0，
∴0＜a-b＜1，
即|a-b|＜1．因此正确．
综上可知：只有③④正确．
故答案为：2．

点评：本题考查了不等式的性质、取特殊值否定一个命题的方法等基础知识与基本技能方法，属于中档题．