题目内容
如图，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为 |
| AB |
（Ⅰ）求证：B1M∥平面O1AC；
（Ⅱ）若AB=AA1，∠CAB=30°，求二面角C-AO1-B的余弦值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定
专题：空间角
分析：（Ⅰ）连结OB1，OM，由已知条件推导出四边形AOB1O1为平行四边形，从而得到平面OMB1∥平面O1AC，由此能够证明B1M∥平面O1AC．
（Ⅱ）过点C作CD⊥AB，垂足为D，过点D作DE⊥O1A，垂足为E，连结CE，由已知条件推导出∠CED为二面角C-AO1-B的平面角，由此能够求出二面角C-AO1-B的余弦值．
（Ⅱ）过点C作CD⊥AB，垂足为D，过点D作DE⊥O1A，垂足为E，连结CE，由已知条件推导出∠CED为二面角C-AO1-B的平面角，由此能够求出二面角C-AO1-B的余弦值．
解答：
（Ⅰ）证明：连结OB1，OM，∵O1B1∥AB，且O1B1=
AB=OA，
∴四边形AOB1O1为平行四边形，∴OB1∥AO1，
由
⇒平面OMB1∥平面O1AC，
又∵B1A?平面OMB1，
∴B1M∥平面O1AC．
（Ⅱ）过点C作CD⊥AB，垂足为D，过点D作DE⊥O1A，
垂足为E，连结CE，
∵BB1⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴BB1⊥CD，∵AB∩BB1=B，
∴CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥AO1，
∴CE⊥AO1，∴∠CED为二面角C-AO1-B的平面角，
令AB=2a，在Rt△CDE中，CD=
a，DE=
a，
∴cos∠CED=
．
| 1 |
| 2 |
∴四边形AOB1O1为平行四边形，∴OB1∥AO1，
由
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又∵B1A?平面OMB1，
∴B1M∥平面O1AC．
（Ⅱ）过点C作CD⊥AB，垂足为D，过点D作DE⊥O1A，
垂足为E，连结CE，
∵BB1⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴BB1⊥CD，∵AB∩BB1=B，
∴CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥AO1，
∴CE⊥AO1，∴∠CED为二面角C-AO1-B的平面角，
令AB=2a，在Rt△CDE中，CD=
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| 2 |
3
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| 5 |
∴cos∠CED=
2
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| 17 |
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是（ ）
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B、
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C、
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D、
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