Question

已知

a

=（3，-cos（ωx）），

b

=（sin（ωx），

3

），其中ω＞0，函数f（x）=

a

•

b

的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且f（

A

2

）=

3

，
①求角A的大小．②求T=sin²A+sin²B+sin²C的范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：平面向量及应用

分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得函数f（x）=2

3

sin（ωx-

π

6

），根据它的最小正周期为π，求得ω 的值，可得f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求得f（x）的增区间．
（2）在△ABC中，由 f（

A

2

）=

3

，求得sin（A-

π

6

）=

1

2

，可得A的值．化简T=sin²A+sin²B+sin²C 为

7

4

+cos（B-C），再根据cos（B-C）的范围，得到T的范围．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=

a

•

b

=3sin（ωx）-

3

cos（ωx）=2

3

sin（ωx-

π

6

）的最小正周期为

2π

ω

=π，
∴ω=2，f（x）=2

3

sin（2x-

π

6

）．
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，故函数的增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（2）在△ABC中，∵f（

A

2

）=2

3

sin（A-

π

6

）=

3

，∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，∴A-

π

6

=

π

6

，或 A-

π

6

=

5π

6

，
求得A=

π

3

，或A=π（舍去）．
由以上可得，B+C=

2π

3

，-

2π

3

＜B-C＜

2π

3

故T=sin²A+sin²B+sin²C=

3

4

+

1-cos2B

2

+

1-cos2C

2

=

7

4

-（cos2B+cos2C）=

7

4

-2cos（B+C）cos（B-C）=

7

4

+cos（B-C）．
再根据-

1

2

＜cos（B-C）≤1，可得T∈（

5

4

，

11

4

]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换、正弦函数的单调性、余弦函数的定义域和值域，属于基础题．