Question

设函数f（x）=x²-2|x|-1 （-3≤x≤3）．
（1）证明f（x）是偶函数；
（2）画出这个函数的图象并求函数的值域（直接写出结果）．
（3）指出函数f（x）的单调区间，并说明在各个单调区间上f（x）是增函数还是减函数；
（4）当m为何值时，方程x²-2|x|-1=m有4个互不相等的实数根？（直接写出结果）

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接利用偶函数的定义证明；
（2）写出分段函数，然后作出对应的二次函数的部分图象；
（3）由图可直接得到函数的单调区间；
（4）数形结合得到使得方程x²-2|x|-1=m有4个互不相等的实数根的实数m的取值范围．

解答： （1）证明：∵-3≤x≤3，且f（-x）=（-x）²-2|-x|-1=x²-2|x|-1=f（x），
∴f（x）是偶函数；
（2）解：f（x）=x²-2|x|-1 （-3≤x≤3）=

(x-1)2-2，0≤x≤3 (x+1)2-2，-3≤x＜0

，
作出函数的图象如图，

值域为[-2，2]；
（3）解：函数的增区间为[-1，0]，（1，3]．
减区间为[-3，-1），（0，1]；
（4）解：由图可知，使得方程x²-2|x|-1=m有4个互不相等的实数根的实数m的取值范围是（-2，-1）．

点评：本题考查了函数的值域的求法，考查了分段函数图象的作法，训练了函数零点的判定方法，是中档题．