Question

定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意的实数，存在常数使得f（t+x）=-tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”，下列“关于t函数”的结论正确的是（　　）

• A、f（x）=2不是“关于t函数”
• B、f（x）=x是一个“关于t函数”
• C、“关于

  1

  2

  函数”至少有一个零点
• D、f（x）=sinπx不是一个“关于t函数”

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据“关于t函数的概念”可知，只有存在常数t，使得f（t+x）+tf（x）=0恒成立即可．依此逐项求t即可．

解答： 解：对于A：f（x）=2时，令t=-1，可知f（x-1）=-（-1）f（x）=f（x）=2．故该函数是一个“关于-1函数”，所以A错；
对于B：对于函数f（x）=x，假设存在t，使得该函数是“关于t函数”，即x+t+tx=0恒成立，即（t-1）x+t=0恒成立，因此需满足

t-1=0 t=0

，无解．所以B错；
对于C：因为是“关于

1

2

函数”，所以f（x+

1

2

）=-

1

2

f（x）恒成立，不妨取x=x₀，且f（x₀），所以

f(x0+ 1 2 )

f(x0)

=-

1

2

＜0，所以f(x0+

1

2

)f(x0)＜0，故在区间（x₀，x₀+

1

2

）必有零点．故C正确．
对于D：当t=1时，有sinπ（x+1）=sin（πx+π）=-sinπx恒成立．即t=1，所f（x）=sinπx是一个“关于1函数”．故D错误．
故选C．

点评：本题是一个新定义题目，要注意给的定义式是一个恒等式，需要在解题时引起注意．