Question

已知定义在R上的函数f（x）=4^x-a•2^x+1+1（a∈R）在[2，+∞）上单调递增，且f（x）=0有实根．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在[0，2]上的最大值M（a）．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令t=2^x，（t＞0），函数f（x）=4^x-a•2^x+1+1可化为y=t²-2at+1，结合函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，且f（x）=0有实根．分别求出满足条件的实数a的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．
（2）当x∈[0，2]时，t∈[1，4]，结合函数y=t²-2at+1的图象和性质及（1）中a的范围，可得答案．

解答： 解：（1）∵令t=2^x，（t＞0），则y=f（x）=4^x-a•2^x+1+1=t²-2at+1，
∵f（x）=4^x-a•2^x+1+1（a∈R）在[2，+∞）上单调递增，
∴y=t²-2at+1，在[4，+∞）上单调递增，
∴a≤4，
若f（x）=0有实根，则y=t²-2at+1有正根，
则

△=4a2-4≥0 2a＞0

解得：a≥1，
综上可得实数a的取值范围为[1，4]，
（2）当x∈[0，2]时，t∈[1，4]，
∵y=t²-2at+1的图象开口朝上，且以直线x=a为对称轴，
若a∈[1，2]，则M（a）=17-8a，
若a∈（2，4]，则M（a）=2-2a．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，换元法，指数函数的图象和性质，难度中档．