Question

设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知当m≤2时，f（x）=

1

6

x³-

1

2

mx2+x在（-1，2）上是“凸函数”．则f（c）在（-1，2）上（　　）

• A、既有极大值，也有极小值
• B、既有极大值，也有最小值
• C、有极大值，没有极小值
• D、没有极大值，也没有极小值

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：求出导数，根据函数恒成立，得出m的值，利用导数求出函数单调性，得出结果．

解答： 解：因f′（x）=

1

2

x²-mx+1，
f″（x）=x-m＜0对于x∈（-1，2）恒成立．
∴m＞（x）_max=2，又当m=2时也成立，有m≥2．
而m≤2，∴m=2．
于是f′（x）=

1

2

x²-2x+1，由f′（x）=0，x=2-

2

或x=2+

2

（舍去），
f（x）（-1，2-

2

）上递增，在（2-

2

，2）上递减，
则f（x）有极大值，没有极小值．
只有C正确．
故选C

点评：本题主要考查导数和函数知识及利用导数判断函数单调性、极值，属于中档题．