Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，直线

x

a

+

y

b

=1与圆x²+y²=

12

7

相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F₂是椭圆C的右焦点，与坐标轴不平行的直线l经过F₂与该椭圆交于A，B两点，P是A关于x轴的对称点，证明：直线BP与x轴的交点是个定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用直线和圆相切的条件，即d=r，结合离心率公式及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，消去y，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（m，0），P（x₁，-y₁），运用韦达定理，再由B，P，Q三点共线，运用斜率相等，整理转化为k，m的式子，即可得到m=4．

解答： （1）解：由于椭圆的离心率为

1

2

，则

c

a

=

1

2

，
即有a=2c，b=

3

c，
又直线

x

a

+

y

b

=1与圆x²+y²=

12

7

相切，
则d=

|ab|

a2+b2

=

2 21

7

，即有

2 3 c2

7 c

=

2 21

7

，
解得，c=1，则a=2，b=

3

．
则椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）证明：设与坐标轴不平行经过F₂的直线l的方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程，消去y，得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
由于P是A关于x轴的对称点，则P（x₁，-y₁），
设直线BP与x轴的交点为Q（m，0），
即有k_BP=k_BQ，
即为

y2+y1

x2-x1

=

y2

x2-m

，即有

k(x1+x2-2)

x2-x1

=

k(x2-1)

x2-m

，
化简可得，2x₁x₂=（m+1）（x₁+x₂）-2m，
即有

2(4k2-12)

3+4k2

=（m+1）

8k2

3+4k2

-2m，
解得，m=4．
即有Q（4，0）．
则直线BP与x轴的交点是个定点（4，0）．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆相切的条件，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查三点共线即为斜率相等，考查化简整理能力，属于中档题．