Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与y轴的交点为M，过焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（Ⅰ）若A、B两点到y轴的距离之差为4k，求p的值；
（Ⅱ）设分别以A、B两点为切点的抛物线C的两切线相交于点N，若

MA

•

MB

=4p²，三角形ABN的面积S∈[5

5

，45

5

]，求k的值及p的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）如图所示，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＞x₂）．直线AB的方程为：y=kx+

p

2

．与抛物线方程联立可得x²-2pkx-p²=0，利用根与系数的关系可得x₁-x₂=

(x1+x2)2-4x1x2

=4k，即可解得p．
（II）由于

MA

•

MB

=4p²，可得x1x2+(y1+

p

2

)(y2+

p

2

)=4p²，（1+k²）x₁x₂+pk（x₁+x₂）+p²=4p²，解得：k=±2．对于抛物线方程x²=2py，可得y′=

x

p

．直线AN的方程为：y-y1=

x1

p

(x-x1)，BN的方程y-y2=

x2

p

(x-x2)．联立解得N(pk，-

p

2

)．利用点到直线的距离公式可得：点N到直线AB的距离d=

|pk2+ p 2 |

k2+1

=

5

2

p．利用弦长公式：|AB|=

(1+k2)

|x1-x2|．S_△ABN=

1

2

d|AB|，利用三角形ABN的面积S∈[5

5

，45

5

]，即可解出．

解答： 解：（I）如图所示，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＞x₂）．
直线AB的方程为：y=kx+

p

2

．
联立

y=kx+ p 2 x2=2py

，化为x²-2pkx-p²=0，
则x₁+x₂=2pk，x1x2=-p2．
∴x₁-x₂=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4p2k2+4p2

=4k，
解得p=

2|k|

k2+1

．（k＜0也成立）．
（II）∵

MA

•

MB

=4p²，
∴x1x2+(y1+

p

2

)(y2+

p

2

)=4p²，
∴x₁x₂+y₁y₂+

p

2

(y1+y2)+

p2

4

=4p²，（*）
∵y1y2=(kx1+

p

2

)(kx2+

p

2

)=k²x₁x₂+

pk

2

(x1+x2)+

p2

4

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+p．
∴（*）化为：（1+k²）x₁x₂+pk（x₁+x₂）+p²=4p²，
∴-p²（1+k²）+2p²k²=3p²，
解得：k=±2．
对于抛物线方程x²=2py，可得y′=

x

p

．
∴直线AN，BN的方程分别为：y-y1=

x1

p

(x-x1)，y-y2=

x2

p

(x-x2)．
联立解得x=pk，y=-

p

2

．
即N(pk，-

p

2

)．
∴点N到直线AB的距离d=

|pk2+ p 2 |

k2+1

=

5

2

p．
|AB|=

(1+k2)

|x1-x2|=

5[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5(4p2k2+4p2)

=10p．
∴S_△ABN=

1

2

d|AB|=

1

2

×

5

2

p×10p=

5 5

2

p2，
∵三角形ABN的面积S∈[5

5

，45

5

]，
∴5

5

≤

5 5

2

p2≤45

5

，
解得

2

≤p≤3．
∴p的取值范围是：[

2

，3]．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、利用导数的几何意义可得切线的斜率、数量积运算性质、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．