Question

在△ABC中，BC=2

3

，D，E分别为边AC，AB上的中点，|BD|+|CE|=6，BD与CE交于点G，以直线BC为x轴，边BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，记动点G形成的曲线为C
（1）求曲线C的方程；
（2）P，Q为曲线C上的两动点，且OP⊥OQ
①求证：点O到直线PQ的距离为定值；②求|PQ|_min．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得动点G的轨迹为以B，C为焦点的椭圆（去掉x轴上的两点），由此能求出曲线C的方程．
（2）①设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），l_OP：y=kx，则lOQ：y=-

1

k

x，联立

y=kx x2 4 +y2=1

，得：xP2=

4

1+4k2

，同理可得xQ2=

4k2

k2+4

，设点O到直线PQ的距离为h，由条件知OP•OQ=h•PQ，由此能证明h=

2 5

5

为定值．②PQ²=OP²+OQ²，由此利用均值定理能求出|PQ|_min．

解答： （1）解：∵|GB|+|GC|=

2

3

|BD|+

2

3

|CE|=4＞|BC|=2

3

，
∴动点G的轨迹为以B，C为焦点的椭圆（去掉x轴上的两点），
∴曲线C的方程为：

x2

4

+y2=1（x≠0）．
（2）①证明：由（1）知直线OP，OQ的斜率存在，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），l_OP：y=kx，
则lOQ：y=-

1

k

x，
联立方程组

y=kx x2 4 +y2=1

，得：xP2=

4

1+4k2

，同理可得xQ2=

4k2

k2+4

，
设点O到直线PQ的距离为h，由条件知OP•OQ=h•PQ，
∴OP²•OQ²=h²•PQ²，
又PQ²=OP²+OQ²，∴h²=

OP2•OQ2

OP2+OQ2

．
又OP²=xP2+yP2=

4(1+k2)

1+4k2

，
OQ²=xQ2+yQ2=

4(1+k2)

k2+4

，∴

1

h2

=

1

OP2

+

1

OQ2

=

5

4

，
∴h=

2 5

5

为定值
②解：PQ²=OP²+OQ²=

20(1+k2)2

(k2+4)(1+4k2)

≥

20(1+k2)

[ 5 2 (1+k2)]2

=

16

5

，
等号成立当且仅当k²=1，
∴|PQ|_min=

4 5

5

．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查点到直线的距离为定值的证明，考查线段长的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．