Question

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为

x= 1 2 +tcosα y=tsinα

（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρ•sin²θ=2cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把极坐标方程两边同时乘以ρ，代入极坐标和直角坐标的互化公式得答案；
（Ⅱ）把直线的参数方程代入抛物线方程，化为关于t的一元二次方程，利用t的几何意义求|AB|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由ρ•sin²θ=2cosθ，得 
（ρsinθ）²=2ρcosθ，即y²=2x．
∴曲线C的直角坐标方程为y²=2x；
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入y²=2x，得t²sin²α-2tcosα-1=0．
设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，则
t₁+t₂=

2cosα

sin2α

，t₁t₂=-

1

sin2α

，
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

( 2cosα sin2α )2+ 4 sin2α

=

2

sin2α

，
当α=

π

2

时，|AB|的最小值为2．

点评：本题考查了极坐标方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．