Question

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，H分别是AA₁、BB₁的中点，求证：
（1）AC₁∥平面EB₁D₁；
（2）平面EB₁D₁∥平面AHC₁．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连A₁C₁，A₁C₁交B₁D₁与点O，根据直线与平面平行的判定定理即可证明AC₁∥平面EB₁D₁．
（2）首先利用直线与平面平行的判定定理证明HC₁∥平面EB₁D₁．再由（1）知AC₁∥平面EB₁D₁．利用平面与平面平行的判定定理即可得到平面EB₁D₁∥平面AHC₁

解答： 证明：（1）连A₁C₁，A₁C₁交B₁D₁与点O，
∵四边形A₁B₁C₁D₁为平行四边形，
则点O是A₁C₁的中点，
又∵E是AA₁的中点，
∴EO是△AA₁C₁的中位线，
∴EO∥AC₁
又∵AC₁?面EB₁D₁，EO?面EB₁D₁，
∴AC₁∥平面EB₁D₁．
（2）连接EH，
∵E，H分别是AA₁、BB₁的中点
则EH∥A₁B₁．且EH=A₁B₁．
又∵A₁B₁∥C₁D₁，且A₁B₁=C₁D₁，
∴EH∥C₁D₁，且EH=C₁D₁．
∴四边形EHC₁D₁是平行四边形．
∴ED₁∥HC₁．
又∵ED₁?平面EB₁D₁，HC₁?平面EB₁D₁，
∴HC₁∥平面EB₁D₁．
由（1）知，AC₁∥平面EB₁D₁，
∵AC₁∩HC₁=C₁，
∴平面EB₁D₁∥平面AHC₁．

点评：本题考查直线与平面平行以及平面与平面平行的判定定理．属于中档题．