Question

已知椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其右顶点A（2，0），离心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不与左、右顶点重合），且

MA

•

NA

=0．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由双曲线方程求出其顶点坐标和焦点坐标，得到椭圆的焦点和顶点坐标，结合条件b²=a²-c²求出b，则椭圆C的方程可求；
（Ⅱ）设出M，N的坐标，联立直线和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后求出M，N的横坐标的和与积，代入

MA

•

NA

=0得到k与m的关系，从而证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其右顶点A（2，0），离心率e=

3

2

，
∴a=2，

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

，∴b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m代入椭圆方程，消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
由题意：△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0
整理得：4k²-m²+1＞0 ①
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0）
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0
也即（1+k²）•

4m2-4

1+4k2

+（km-2）（-

8km

1+4k2

）+m²+4=0
整理得：5m²+16mk124k²=0
解得：m=-2k或m=-

6k

5

，均满足①
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），舍去
当m=-

6k

5

，时，直线l的方程为y=k（x-

6

5

），过定点（

6

5

，0），
故直线l过定点，且定点的坐标为（

6

5

，0）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了设而不求的解题思想方法和数学转化思想方法，考查了学生的计算能力．