Question

已知双曲线x²-y²=1，点A是它的左顶点，c是它的半焦距，点B（c²，0），点P是双曲线右支上的点，且满足AP⊥BP，求点P的坐标．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的a，b，c，可得A、B的坐标，设出P的坐标（m，n），由两直线垂直的条件结合斜率公式可得m，n的关系，联立m²-n²=1，即可解得m，n．

解答： 解：双曲线x²-y²=1的a=1，b=1，c=

2

，
则A（-1，0），B（2，0），设P（m，n）（m＞0），
由AP⊥BP，即有k_APk_BP=-1，
即

n

m+1

•

n

m-2

=-1，
即有n²=-（m+1）（m-2），
又m²-n²=1，即n²=m²-1，
由1-m²=（m+1）（m-2）．
解得m=

3

2

（-1舍去），
即有n²=

9

4

-1，解得n=±

5

2

，
则点P的坐标为（

3

2

，

5

2

）或（

3

2

，-

5

2

）．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，同时考查两直线垂直的条件和斜率公式，运用点在曲线上满足曲线方程，联立方程求解是解题的关键．