Question

证明sin（α+β）sin（α-β）=sin²α-sin²β，并利用该式计算sin²20°+sin80°•sin40°的值．

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明

专题：三角函数的求值

分析：根据两角和的正弦公式乘以两角差的正弦公式，再根据1=sin²α+cos²α，化简即可证明，sin80°•sin40°=sin（60°+20°）•sin（60°-20°），问题得以解决．

解答： 证明：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，
∴sin（α+β）sin（α-β）=sin²αcos²β-cos²αsin²β=sin²α（1-sin²β）-（1-sin²α）sin²β=sin²α-sin²αsin²β-sin²β+sin²αsin²β=sin²α-sin²β，
∴sin（α+β）sin（α-β）=sin²α-sin²β；
∴sin²20°+sin80°•sin40°=sin²20°+sin（60°+20°）•sin（60°-20°）=sin²20°+sin²60°-sin²20°=sin²60°=

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点评：本题主要考查三角函数的和差公式以及平方关系，属于基础题．