Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且∠A=80°，a²=b（b+c），求∠C．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：已知等式变形，利用正弦定理化简，利用二倍角的余弦函数公式及和差化积公式变形，再利用诱导公式化简，得到∠A与∠B的关系，由∠A的度数求出∠B的度数，进而求出∠C的度数即可．

解答： 解：∵a²=b（b+c），
∴a²=b²+bc，
由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴sin²A=sin²B+sinBsinC，即

1-cos2A

2

=

1-cos2B

2

+sinBsinC，
整理得：-

cos2A-cos2B

2

=sinBsinC，
化简得：sin（A+B）sin（A-B）=sinBsinC，
∵∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B=180°-∠C，
∴sin（A+B）=sinC≠0，
∴sin（A-B）=sinB，
∴∠A-∠B=∠B，即∠A=2∠B，
∵∠A=80°，
∴∠B=40°，
则∠C=180°-80°-40°=60°．

点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，二倍角的余弦函数公式，诱导公式的作用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．