Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos²

A-B

2

cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-

3

5

．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=4

2

，b=5，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式左边第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式求出cosA的值即可；
（Ⅱ）由cosA的值，求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，进而求出B的度数，由a，b，cosA的值，求出c的值，再由a，sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）由2cos²

A-B

2

cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-

3

5

，
得[cos（A-B）+1]cosB-sin（A-B）sinB-cosB=-

3

5

，
即cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=cos（A-B+B）=cosA=-

3

5

；
（Ⅱ）∵cosA=-

3

5

，0＜A＜π，
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
∵

a

sinA

=

b

sinB

，a=4

2

，b=5，
∴sinB=

bsinA

a

=

5× 4 5

4 2

=

2

2

，
∵a＞b，∴A＞B，
∴B=

π

4

，
根据余弦定理，有a²=b²+c²-2bccosA，即32=25+c²+6c，
整理得：（c-1）（c+7）=0，
解得：c=1或c=-7（舍去），
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×4

2

×1×

2

2

=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．