Question

椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，且过点（

2

，

3

3

）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点（0，-

1

2

），求△AOB（O为原点）面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）依题意，椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，且过点（

2

，

3

3

），建立方程组，可求得a，b，从而可得椭圆M的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），依题意，直线AB有斜率，可分直线AB的斜率k=0与直线AB的斜率k≠0讨论，利用弦长公式，再结合基本不等式即可求得各自情况下S_△AOB的最大值．

解答： 解：（1）∵椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，且过点（

2

，

3

3

），
∴

a2-b2 a2 = 2 3 2 a2 + 1 3 b2 =1

，
∴a²=3，b²=1，
∴椭圆M的方程为

x2

3

+y2=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵AB的垂直平分线经过点（0，-

1

2

），显然直线AB有斜率，
当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线为y轴，则x₁=-x₂，y₁=y₂，
∴S_△AOB=

1

2

|2x₁||y₁|=|x₁||y₁|=

1 3 x12(1-x12)

，
∵

x12(3-x12)

≤

x12+(3-x12)

2

=

3

2

，
∴S_△AOB≤

3

2

，当且仅不当|x₁|=

6

2

时，S_△AOB取得最大值为

3

2

；
当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t，
与椭圆方程联立，得到（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，
当△=4（9k²+3-3t²）＞0，即3k²+1＞t²①，方程有两个不同的实数解；
又x₁+x₂=

-6kt

3k2+1

，
∴

x1+x2

2

=-

3kt

3k2+1

∴

y1+y2

2

=

t

3k2+1

，
又

y1+y2 2 + 1 2

0- x1+x2 2

=-

1

k

，化简得到3k²+1=4t②
代入①，得到0＜t＜4，…10分
又原点到直线的距离为d=

|t|

k2+1

，
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

4(9k2+3-3t2)

3k2+1

，
∴S_△AOB=

1

2

|AB||d|=

1

2

•

|t|

k2+1

•

1+k2

•

4(9k2+3-3t2)

3k2+1

=

1

4

3(4t-t2)

∵0＜t＜4，所以当t=2时，即k=±

7 3

时，S_△AOB取得最大值为

3

2

．
综上，S_△AOB取得最大值为

3

2

．

点评：本题考查椭圆的定义及其性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，直线方程以及韦达定理的应用．难度比较大，解题需要一定的运算能力以及分析问题解决问题的能力．