Question

已知直线l：mx-2y+m+6=0（m∈R），则圆C：（x-1）²+（y-1）²=2上的各点到直线l的距离最大值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：根据圆C的方程可确定圆心C（1，1），半径r=

2

．利用点到直线的距离公式可得到圆心到直线的距离为d=

|m-2+m+6|

m2+4

，结合基本不等式可求得
d=

1+ 4 m+ 4 m

≤2

1+1

=2

2

，从而得到圆C上点到直线的距离的最大值为3

2

．

解答： 解：由圆C：（x-1）²+（y-1）²=2可得，
圆心C（1，1），半径r=

2

．
∴圆心到直线l：mx-2y+m+6=0的距离
d=

|m-2+m+6|

m2+4

=

|2m+4|

m2+4

=2

(m+2)2 m2+4

=2

m2+4m+4 m2+4

=2

1+ 4m m2+4

=2

1+ 4 m+ 4 m

≤2

1+1

=2

2

，
∴圆C：（x-1）²+（y-1）²=2上的各点到直线l的距离最大值是3

2

．
故答案为：3

2

．

点评：本题考查圆的标准方程，点到直线的距离公式，基本不等式等知识的综合应用，属于中档题．