Question

15．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，都有2S_n=n²+n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 数列{b_n}满足b₁=1，2b_n+1-b_n=0（n∈N^*），若c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和为T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问是否存在整数m，使得对任意的正整数n，都有m-2＜T_n＜m+2，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系可得．
（Ⅱ）由 b₁=1，2b_n+1-b_n=0知数列{b_n}是等比数列，${b_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，因此${c_n}=n•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的n∈N^*，都有T_n＜4，作差可得T_n+1＞T_n，从而1≤T_n＜4，即为得出．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，由2a₁=2得a₁=1，
当n≥2时，由$2{S_n}={n^2}+n$得$2{S_{n-1}}={（n-1）^2}+（n-1）$，
两式相减得a_n=n，∵a₁=1也满足此式，
∴${a_n}=n（n∈{N^*}）$．
（Ⅱ）由 b₁=1，2b_n+1-b_n=0知数列{b_n}是等比数列，${b_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
∴${c_n}=n•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
∵${T_n}=1+2×{（\frac{1}{2}）^1}+3×{（\frac{1}{2}）^2}+…+n×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$
∴$\frac{1}{2}$T_n   $（\frac{1}{2}{）^1}+2×{（\frac{1}{2}）^2}+…+（n-1）×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+n×（\frac{1}{2}{）^n}$，
两式相减得$\frac{1}{2}{T_n}=1+{（\frac{1}{2}）^1}+{（\frac{1}{2}）^2}+…+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}-n×{（\frac{1}{2}）^n}=\frac{{1-{{（\frac{1}{2}）}^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-n×{（\frac{1}{2}）^n}=2-（n+2）{（\frac{1}{2}）^n}$，
∴${T_n}=4-（n+2）{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的n∈N^*，都有T_n＜4，
∵${T_{n+1}}-{T_n}=（n+2）{（\frac{1}{2}）^{n-1}}-（n+3）{（\frac{1}{2}）^n}=（n+1）{（\frac{1}{2}）^n}＞0$，∴T_n+1＞T_n，
∴T_n≥T₁=1，从而1≤T_n＜4．
要使得对任意的正整数n，都有m-2＜T_n＜m+2，只需$\left\{\begin{array}{l}m-2＜1\\ m+2≥4\end{array}\right.$，即2≤m＜3．
故存在整数m=2，使得对任意的正整数n，都有m-2＜T_n＜m+2．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．