题目内容
5．若f'（x）是f（x）的导函数，f'（x）＞2f（x）（x∈R），f（${\frac{1}{2}}$）=e，则f（lnx）＜x2的解集为（0，$\sqrt{e}$]．分析 由题意可构造新函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，判断g（x）的单调性为R上增函数，所求不等式可转化$\frac{f（lnx）}{{e}^{2lnx}}$＜1．
解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，g'（x）=$\frac{f'（x）-2f（x）}{{e}^{2x}}$＞0；
∴g（x）在R上是增函数，又e2lnx=x2；
∴g（$\frac{1}{2}$）=1；
所求不等式?$\frac{f（lnx）}{{e}^{2lnx}}$＜1?g（lnx）＜g（$\frac{1}{2}$），lnx＜$\frac{1}{2}$；
故可解得：x∈（0，$\sqrt{e}$]．
故答案为：（0，$\sqrt{e}$]
点评 本题主要考查了构造新函数，判断函数的单调性以及转化思想应用，属中等题．
练习册系列答案
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如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为主题游乐区，四边形区域为BCDE为休闲游乐区，AB、BC，CD，DE，EA，BE为游乐园的主要道路（不考虑宽度）．∠BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD=3km．
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| A． | $-\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ |
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