Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，2a_n+1=a_n，若对于任意n∈N^*，当t∈[-1，1]时，不等式x²+tx+1＞S_n恒成立，则实数x的取值范围为（-∞，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$]∪[$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得数列{a_n}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可得：S_n=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1，由题意可得x²+tx+1≥2，对于任意n∈N^*，当t∈[-1，1]时恒成立，可知$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）={x}^{2}-x-1≥0}\\{f（1）={x}^{2}+x-1≥0}\end{array}\right.$，根据一元二次不等式的解法，即可求得实数x的取值范围．

解答 解：数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，2a_n+1=a_n，
∴数列{a_n}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
S_n=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1，
对于任意n∈N^*，当t∈[-1，1]时，不等式x²+tx+1＞S_n恒成立，
∴x²+tx+1≥2，
x²+tx-1≥0，
令f（t）=tx+x²-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）={x}^{2}-x-1≥0}\\{f（1）={x}^{2}+x-1≥0}\end{array}\right.$，
解得：x≥$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或x≤$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，
∴实数x的取值范围（-∞，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$]∪[$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查等比数列前n项和公式，考查数列与不等式的综合应用，一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中档题．