Question

13．设平面向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα）（0≤a≤2π），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线．
（1）求证：向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与垂直；
（2）若两个向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$的模相等，求角α．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，求得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，可得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）．
（2）由条件求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，即sin（α-$\frac{π}{6}$）=0，结合0≤a≤2π，求得α的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα）（0≤a≤2π），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）．
（2）∵已知两个向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$的模相等，
∴${（\sqrt{3}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=${（\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow{b}）}^{2}$，∴3${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$+2$\sqrt{3}$•$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+3${\overrightarrow{b}}^{2}$-2$\sqrt{3}$•$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
再结合|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，即$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα$-$\frac{1}{2}$cosα=sin（α-$\frac{π}{6}$）=0，
∴α-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z．
∵0≤a≤2π，∴α=$\frac{π}{6}$，或α=$\frac{7π}{6}$．

点评 本题主要考查两个向量垂直的判定，两个向量的坐标形式的运算，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．