Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=BC，∠PBC=90°，D为AC的中点，AB⊥PD．
（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（2）求二面角B-PD-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：（Ⅰ）根据已知条件，取AB的中点O，连结PO、OD，得到PO⊥AB，再利用AB⊥PD，根据线面垂直判定定理证明AB⊥平面POD，从而得到AB垂直平面POD内的线OD，再利用OD为中位线，得出OD⊥平面PAB，最后利用面面垂直的判定证明平面PAB垂直平面ABC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OB、OD、OP两两垂直，由此建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PD-C的余弦值．

解答： （1）证明：取AB中点为O，连结OD、OP，
∵PA=PB，∴AB⊥OP，
又AB⊥PD，OP∩PD=P，
∴AB⊥平面POD，
∵OD?平面POD，∴AB⊥OD，
由已知，BC⊥PB，又OD∥BC，∴OD⊥PB，
∵AB∩PB=B，∴OD⊥平面PAB，
又OD?平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OB、OD、OP两两垂直，
以O为坐标原点，以OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设OB=1，则B（1，0，0），P（0，0，

3

），D（0，1，0），C（1，2，0），
则

BD

=(-1，1，0)，

PD

=(0，1，-

3

)，

DC

=(1，1，0)，
设

m

=（x，y，z），是平面PDB的法向量，
则

m • BD =-x+y=0 m • PD =y- 3 z=0

，取z=1，得

m

=(

3

，

3

，1)，
设平面PDC的法向量

n

=(x1，y1，z1)，
则

n • PD =x1- 3 z1=0 n • DC =x1+y1=0

，取x1 =

3

，得

n

=(

3

，-

3

，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

3-3+1

7 • 7

=

1

7

，
由图形知二面角B-PD-C是钝二面角，
∴二面角B-PD-C的余弦值为-

1

7

．

点评：本题以三棱锥为向何背景的考查线线垂直、平行的判定，考查线面垂直、面面垂直的判定以及用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和计算能力．