题目内容
已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an-n+1，（n∈N*），
（1）求证数列{an-n}为等比数列．
（2）判断265是否是数列{an}中的项，若是，指出是第几项，并求出该项以前所有项的和（不含265），若不是，说明理由．
（1）求证数列{an-n}为等比数列．
（2）判断265是否是数列{an}中的项，若是，指出是第几项，并求出该项以前所有项的和（不含265），若不是，说明理由．
考点：数列递推式,等比关系的确定
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）根据等比数列的定义即可证明数列{an-n}为等比数列．
（2）求出数列的通项公式，根据通项公式进行判断．
（2）求出数列的通项公式，根据通项公式进行判断．
解答：
证明：（1）由an+1=2an-n+1知
an+1-（n+1）=2（an-n），
即
=2，
即{an-n}是以1为首项，以2为公比的等比数列．
（2）由（1）知an-n=2n-1，
即an=2n-1+n，
265是数列{an}中的第9项．
（原因是 {an}是递增数列，265是奇数，它只能为{an}中的奇数项，）
又∵256＜265＜512，
∴猜想是第9 项，经验证符合猜想，不写原因不扣分）
∴S8=（1+2+…+8）+（20+2+…+27）=291．
an+1-（n+1）=2（an-n），
即
| an+1-(n+1) |
| an-n |
即{an-n}是以1为首项，以2为公比的等比数列．
（2）由（1）知an-n=2n-1，
即an=2n-1+n，
265是数列{an}中的第9项．
（原因是 {an}是递增数列，265是奇数，它只能为{an}中的奇数项，）
又∵256＜265＜512，
∴猜想是第9 项，经验证符合猜想，不写原因不扣分）
∴S8=（1+2+…+8）+（20+2+…+27）=291．
点评：本题主要考查等比数列的证明，以及数列项的判断，根据数列的递推关系是解决本题的关键．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
现有数列{an}满足：a1=1，且对任意的m，n∈N*都有：am+n=am+an+mn，则
+
+
+…+
=
（ ）
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| a2014 |
（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=BC，∠PBC=90°，D为AC的中点，AB⊥PD．