Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（1）求二面角B₁-BD-A₁的余弦值；
（2）求点C₁到平面A₁BD的距离．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取BC中点O，连结AO，由已知条件得AO⊥BC，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，以O为原点，

OB

，

OO1

，

OA

的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B₁-BD-A₁的余弦值．
（2）由

AB1

=（1，2，-

3

）为平面A₁BD的法向量，

DC1

=（0，1，0），利用向量法能求出C₁点到A₁BD的距．

解答： 解：（1）取BC中点O，连结AO，
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁．
取B₁C₁中点O₁，以O为原点，

OB

，

OO1

，

OA

的方向为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D（-1，1，0），A₁（0，2，

3

），
A（0，0，

3

），B₁（1，2，0），C₁（-1，2，0）
∴

AB1

=(1，2，-

3

)，

BD

=(-2，1，0)，

BA1

=(-1，2，

3

)．
∴

AB1

•

BD

=0，

AB1

•

BA1

=0
∴

AB1

⊥

BD

，

AB1

⊥

BA1

，∴AB₁⊥平面BDA₁．
即

AB1

=（1，2，-

3

）为平面BDA₁的法向量．
取平面B₁BD的一个法向量为

n

=(0 ，0 ，

3

)，
cos＜

n

，

AB1

＞=

n • AB1

|n • AB1 |

=

-3

2 2 • 3

=-

6

4

．
∴二面角B₁-BD-A₁的余弦值为

6

4

．
（2）∵

AB1

=（1，2，-

3

）为平面A₁BD的法向量，

DC1

=（0，1，0）
∴C₁点到平面A₁BD的距离为：
d=|

DC1 • AB1

|AB1|

|=|

(0，1，0)•(1，2，- 3 )

1+4+3

|=

2

2 2

=

2

2

．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．