题目内容
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且函数f(x)=
lnx+
在x=an处的切线的斜率为
（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：
+
+
+…+
＜
(n∈N*)；
（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ(1-
)(1-
)…(1-
)cos
＜
对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
| 1 |
| 2 |
| x |
| 4 |
| Sn | ||
|
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：
| 1 |
| a13 |
| 1 |
| a23 |
| 1 |
| a33 |
| 1 |
| an3 |
| 5 |
| 32 |
（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ(1-
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
| πan+1 |
| 2 |
| 1 | ||
|
考点：数列与不等式的综合
专题：点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用
分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=an处的导数，即
，由此得到数列递推式，分n=1和n≥2讨论得到数列{an}的通项公式；
（2）利用放缩法得到
＜
[
-
]，验证n=1时不等式成立，再利用裂项相消法证得n≥2时不等式成立；
（3）把an=2n代入cos
，并且令bn=
，则不等式等价于（-1）n+1λ＜bn．作商判断出数列{bn}是增函数，然后利用单调性分n为奇偶数得到λ的取值范围，则非零整数λ可求．
| Sn | ||
|
（2）利用放缩法得到
| 1 |
| an3 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| (n-1)n |
| 1 |
| n(n+1) |
（3）把an=2n代入cos
| πan+1 |
| 2 |
| 1 | ||||||||
(1-
|
解答：
（1）解：由f(x)=
lnx+
，得f′(x)=
+
，
依题意，
=f′(an)=
+
，即Sn=
．
当n=1时，a1=S1=
，解得a1=2或a1=0（舍去）．
当n≥2时，由an=Sn-Sn-1=
-
，
得an2-an-12=2(an+an-1)，
∵an＞0，
∴an+an-1≠0，则an-an-1=2，
∴{an}是首项为2，公差为2的等差数列，故an=2n；
（2）证明：∵
=
=
＜
=
=
[
-
]（n≥2），
∴当n≥2时，
+
+
+…+
=
+
+
+…+
＜
+
[(
-
)+(
-
)+…+
-
]+…+
-
]
=
+
[
-
]＜
+
×
=
．
当n=1时，不等式左边=
=
＜
显然成立；
（3）解：由an=2n，得cos
=cos(n+1)π=(-1)n+1，
设bn=
，则不等式等价于（-1）n+1λ＜bn．
=
=
=
=
＞1，
∵bn＞0，
∴bn+1＞bn，数列{bn}单调递增．
假设存在这样的实数λ，使得不等式（-1）n+1λ＜bn对一切n∈N*都成立，则
①当n为奇数时，得λ＜(bn)min=b1=
；
②当n为偶数时，得-λ＜(bn)min=b2=
，即λ＞-
．
综上，λ∈(-
，
)，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．
| 1 |
| 2 |
| x |
| 4 |
| 1 |
| 2x |
| 1 |
| 4 |
依题意，
| Sn |
| an2 |
| 1 |
| 2an |
| 1 |
| 4 |
| an(an+2) |
| 4 |
当n=1时，a1=S1=
| a1(a1+2) |
| 4 |
当n≥2时，由an=Sn-Sn-1=
| an(an+2) |
| 4 |
| an-1(an-1+2) |
| 4 |
得an2-an-12=2(an+an-1)，
∵an＞0，
∴an+an-1≠0，则an-an-1=2，
∴{an}是首项为2，公差为2的等差数列，故an=2n；
（2）证明：∵
| 1 |
| an3 |
| 1 |
| (2n)3 |
| 1 |
| 8n•n2 |
| 1 |
| 8n(n2-1) |
=
| 1 |
| 8(n-1)n(n+1) |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| (n-1)n |
| 1 |
| n(n+1) |
∴当n≥2时，
| 1 |
| a13 |
| 1 |
| a23 |
| 1 |
| a33 |
| 1 |
| an3 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 43 |
| 1 |
| 63 |
| 1 |
| (2n)3 |
＜
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| 3×4 |
| 1 |
| (n-1)n |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| (n-1)n |
| 1 |
| n(n+1) |
=
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 32 |
当n=1时，不等式左边=
| 1 |
| a13 |
| 1 |
| 8 |
| 5 |
| 32 |
（3）解：由an=2n，得cos
| πan+1 |
| 2 |
设bn=
| 1 | ||||||||
(1-
|
| bn+1 |
| bn |
| ||||
(1-
|
| ||||
(1-
|
=
| 2n+2 | ||
|
| ||
|
∵bn＞0，
∴bn+1＞bn，数列{bn}单调递增．
假设存在这样的实数λ，使得不等式（-1）n+1λ＜bn对一切n∈N*都成立，则
①当n为奇数时，得λ＜(bn)min=b1=
2
| ||
| 3 |
②当n为偶数时，得-λ＜(bn)min=b2=
8
| ||
| 15 |
8
| ||
| 15 |
综上，λ∈(-
8
| ||
| 15 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题考查数列与不等式综合，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用放缩法证明不等式，考查了函数构造法，训练了利用函数单调性求函数的最值．属难度较大的题目．
练习册系列答案
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在△ABC中，AC•cosA=3BC•cosB，且cosC=
，则A=（ ）
| ||
| 5 |
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| C、60° | D、120° |
“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（ ）
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充分必要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱至的四个侧面中的最大面积是（ ）
| A、3 | ||
B、2
| ||
| C、6 | ||
| D、8 |
甲、乙两名工人生产的零件尺寸记成如图所示的茎叶图，已知零件尺寸在区间[165，180]内的为合格品．（单位：mm）