题目内容
11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}x，x＜t}\\{{x}^{2}-6x+10，x≥t}\end{array}\right.$（a＞0，a≠1），若?t∈（2，3），?y0∈R，使得f（x）=y0有三个不等的实根，则实数a的取值范围是（ ）| A． | （0，1）∪（1，3] | B． | （0，1）∪（1，3） | C． | （0，1）∪（2，+∞） | D． | （0，1）∪（1，2] |
分析 当x≥t时，f（x）=x2-6x+10，其对称轴为x=3，?t∈（2，3），f（x）min=1，?y0∈R，使得f（x）=y0有二个不等的实根，问题转化为存在f（x）=logax≥1即可，分类讨论即可求出答案．
解答 解：当x≥t时，f（x）=x2-6x+10，其对称轴为x=3，?t∈（2，3），f（x）min=f（3）=9-18+10=1，
?y0∈R，使得f（x）=y0有二个不等的实根，
∵?t∈（2，3），?y0∈R，使得f（x）=y0有三个不等的实根，
∴f（x）=logax为减函数，?y0∈R，使得f（x）=y0有一个实根，
当0＜x＜t时，f（x）=logax，
当0＜a＜1时，f（x）=logax为减函数，?y0∈R，使得f（x）=y0有一个实根，
当a＞1时，f（x）=logax为增函数，f（x）＜logat，
∴logat＜1，
解得a1＜t＜3，
∴1＜a＜3，
综上所述a的取值范围为（0，1）∪（1，3），
故选：B
点评 本题考查了分段函数的问题，以及二次函数和对数函数的性质，需要分类讨论，属于中档题．
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| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{2}$ |