Question

1．已知函数f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}$，（x∈R）是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）求证：函数f（x）在R上是单调递增函数；
（3）求使f（1-m）+f（1-2m）＜0成立的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性得到f（-x）=-f（x），求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，得到导函数大于0，从而判断出函数的单调性即可；
（3）根据函数的奇偶性和函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵f（-x）=-f（x），
∴f（-x）=$\frac{（a-2{）2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$=$\frac{-a{•2}^{x}-（a-2）}{{2}^{x}+1}$，
∴a-2=-a，解得：a=1；
（2）由（1）得：f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
f′（x）=$\frac{2ln{2•2}^{x}}{{{（2}^{x}+1）}^{2}}$＞0，
∴f（x）在R递增；
（3）结合（1），（2），f（x）是奇函数，f（x）递增，
由f（1-m）+f（1-2m）＜0，
得：f（1-m）＜f（2m-1），
∴1-m＜2m-1，解得：m＞2，
故m的范围是（2，+∞）．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．